昨日（2003年12月24日）の朝日新聞朝刊第1面の「変わる入試―転機の教育(2)」に、次のような問題が紹介されていました。

円周率が3.05より大きいことを証明せよ

これは、東京大学平成15年度第２次学力試験（前期日程試験）数学（B）に出題されました。
http://www.u-tokyo.ac.jp/jpn/admission/undergraduate/03zsu-b.pdf

数学が苦手な私でも、これなら解けます。
円周率を求めるアルキメデス法を使えばよいのですね（アルキメデス法については「ののちゃんのふしぎ玉手箱．．．．． 円周率を１兆けた求めるにはどんな計算をするの？」などを参照してください）。

円に内接する多角形と、円に外接する多角形を考えます。
円に内接する多角形の周囲の長さは円周よりもわずかに小さく、円に外接する多角形の周囲の長さは円周よりもわずかに大きいことになります。
そこで、多角形の角の数（ということは、辺の数）を増やしていけば、限りなく円に近づきますから、円の直径と多角形の周囲の長さの比は、円周率に近づいていきます。

ということで、直径1の円に内接する正ｎ角形の周囲の長さと、円に外接する正n角形の周囲の長さを求めてみました（数学が苦手な私は、Excel に計算させました）。

n	内接n角形	外接n角形
3	2.598076211353	5.196152422707
4	2.828427124746	4.000000000000
6	3.000000000000	3.464101615138
8	3.061467458921	3.313708498985
12	3.105828541230	3.215390309173
24	3.132628613281	3.159659942098
36	3.137606738916	3.149591886933
60	3.140157374577	3.144466756982
90	3.140954703225	3.142869254257
180	3.141433158711	3.141911687079
360	3.141552779415	3.141672404673
3600	3.141592254847	3.141593451077
36000	3.141592649604	3.141592661567
360000	3.141592653604	3.141592653723
3600000	3.141592653442	3.141592653443

上の表から、円周率が「3.05」よりも大きいことは、正８角形でも証明できますね。

こうしてみると、「3.14」を教えるのでは「詰め込み教育」だから「3」にしてしまえ、というハナシがいかに乱暴かよくわかります。
正三百六十万角形くらいになると、円とどれくらい違うのでしょうね？
……描くことができないのでよくわかりません。
ただ、「3.14」という値は、いい線行ってたのではないかと思いますよ。

それに、科学的な教育において重要なのは、「値」を教えることではなく、「なぜ」そのような値が得られるのか、ということなのにねぇ。
東大の入試にこうした問題が出る（つまり合否の判定材料になる）ということは、こういう問題が苦手な受験生って多いのでしょうか？

(2003/12/25)