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正多角形と正多面体

すべての辺の長さが等しく、頂角がすべて等しい多角形を、正多角形といいます。正多角形には、次のようなものがあります。

正多角形は、無限にあります。ところが、平面上に敷き詰めることができる、つまりタイルとして使える正多角形は、正三角形、正四角形（正方形）、正六角形の３種類しかありません。下の図の通り、正五角形では、タイルは貼れません。

これらの正多角形のうち、正六角形では、平面に敷き詰めることはできますが、立体は作れません。正六角形だけではサッカーボールは作れないのです。

では、同じ種類の正多角形を組み合わせてできる立体（正多面体）には、どのようなものがあるかというと、……次の５種類だけです。

見てわかるとおり、正多面体を作る正多角形は、正三角形、正四角形（正方形）、正五角形の３種類です。

ここで、正四面体、正八面体、正二十面体の頂点を切り取ってみましょう。正多角形を作る正三角形を正六角形にしてみるのです（正三角形のそれぞれの辺を、三等分すると、正六角形になります）。

どうでしょう。鉱物の結晶のような形になりましたね。

正四面体の頂点を切り取ると正三角形が、正八面体の頂点を切り取ると正四角形（正方形）が、正二十面体の頂点を切り取ると正五面体が現れました。

正二十面体の頂点を切り取った立体が、正六角形と正五角形からできるサッカーボールの形です。

上の三つの立体を作ってみたい人のためにリソース（資料と作品のコーナー）に型紙を用意しておきました。

(2001/07/09)

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